Степенная функция, ее свойства и график. Степенная функция, ее свойства и график Степенная функция с иррациональным показателем

График функции y = ax 2 + n .

Пояснение.

y = 2x 2 + 4.
y = 2x 2 , перемещается на четыре единицы вверх по оси y . Разумеется, при этом все значения y закономерно увеличиваются на 4.

Вот таблица значений функции y = 2x 2:

А вот таблица значений y = 2x 2 + 4:

Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на 4 единицы выше вершины параболы первой (ее координаты 0;4). А значения y второй функции на 4 больше значений y первой функции.

График функции y = a (x – m ) 2 .

Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2 (x – 6) 2 .
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x 2 , перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси x (на графике – красная парабола).

График функции y = a (x – m ) 2 + n.

Две функции приводят нас к третьей функции: y = a (x – m ) 2 + n.

Пояснение:

Например, надо построить график функции y = 2 (x – 6) 2 + 2.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x 2 , перемещается на 6 единиц вправо (значение m) и на 2 единицы вверх (значение n). Красная парабола на графике – результат этих перемещений.

Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x p , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.

Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x 2n , гдеn - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;

функция y=x 2n четная, так какx 2n =(-x) 2n

функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x 2n имеет такой же вид, как например график функцииy=x 4 .

2. Показатель p=2n-1 - нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

область определения - множество R;

множество значений - множество R;

функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3 .

3.Показатель p=-2n , гдеn - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:

множество значений - положительные числа y>0;

функция y=1/x 2n четная, так как1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x 2 .

4.Показатель p=-(2n-1) , гдеn - натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

область определения - множество R, кроме x=0;

множество значений - множество R, кроме y=0;

функция y=x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функция является убывающей на промежутках x<0 иx>0 .

График функции y=x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x 3 .

1. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

1. Функция arcsin

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

1. [Править]Свойства функции arcsin

1. [Править]Получение функции arcsin

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной , и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений - . Так как для функции на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой

На области определения степенной функции y = x p имеют место следующие формулы:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства степенных функций и их графики

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... .

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: -∞ < y < ∞
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... .

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: 0 ≤ y < ∞
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1 , y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:
при n ≠ 2 , корень степени n :

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ... . Если положить n = -k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... .

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0 : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -1 ,
при n < -2 ,

Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -2 ,
при n < -2 ,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя - нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0 : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < +∞
Множество значений: -∞ < y < +∞
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0 : выпукла вниз
при x > 0 : выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < +∞
Множество значений: 0 ≤ y < +∞
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 : монотонно убывает
при x > 0 : монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: -∞ < y < ∞
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: 0 ≤ y < ∞
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя - четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

y = x p при различных значениях показателя p .

Степенная функция с отрицательным показателем p < 0

Область определения: x > 0
Множество значений: y > 0
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы: ;
Частное значение: При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 < p < 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

1. Степенная функция, ее свойства и график;

2. Преобразования:

Параллельный перенос;

Симметрия относительно осей координат;

Симметрия относительно начала координат;

Симметрия относительно прямой y = x;

Растяжение и сжатие вдоль осей координат.

3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;

4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;

5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функция: y = x\n - ее свойства и график.

Степенная функция, ее свойства и график

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p , где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p = 2n - четное натуральное число.

y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
• функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.

График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .

2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число

В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;
• множество значений - множество R;
• функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y = x 2n-1 y = x 3 .

3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:

• множество значений - положительные числа y>0;
• функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
• функция является возрастающей на промежутке x0.

График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .

4. Показатель p = -(2n-1) , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x = 0;
• множество значений - множество R, кроме y = 0;
• функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
• функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .

График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .

Функция у = х2n ,где n принадлежит множеству целых положительных чисел. Степенная функция такого вида имеет чётный положительный показатель степени а=2n. Так как всегда х2n=(-х)2n, то графики всех таких функций симметричны относительно оси ординат. Все функции вида у = х2n, n принадлежит множеству целых положительных чисел имеют следующие одинаковые свойства: Х=R Х? =(-?;?) У=}