Чему равно число «Пи», или как ругаются математики? Что такое число пи и какова его история Чему равняется пи в физике

Значение числа (произносится «пи» ) — математическая константа, равная отношению

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число .

Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14). Но для более

сложных случаев и там, где нужна бОльшая точность необходимо знать больше, чем 3 цифры.

Какое число пи? Первые 1000 знаков числа пи после запятой:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам,

приведенным ниже:

1. Берем круг , обматываем по его краю нить один раз.
2. Измеряем длину нити.
3. Измеряем диаметр круга.
4. Делим длину нити на длину диаметра. Получили число пи.

Свойства числа Пи.

• пи — иррациональное число , т.е. значение числа пи не возможно точно выразить в виде

дроби m/n , где m и n являются целыми числами . Из этого видно, что десятичное представление

числа пи никогда не заканчивается и оно не является периодическим.

• пи — трансцендентное число, т.е. оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми

коэффициентами. В 1882 году профессор Кёнигсбергский доказал трансцендентность числа пи , а

позднее, профессором Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил

Феликс Клейн в 1894 году.

• так как в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности - это функции числа пи,

то доказательство трансцендентности пи дало конец спору о квадратуре круга, длившемуся более

2,5 тысяч лет.

• пи является элементом кольца периодов (то есть, вычислимым и арифметическим числом).

Но никто не знает, принадлежит ли к кольцу периодов.

Формула числа пи.

• Франсуа Виет:

• Формула Валлиса:

• Ряд Лейбница:

• Другие ряды:

Январь 13, 2017

***

Что общего между колесом от Лады Приоры, обручальным кольцом и блюдцем вашего кота? Вы, конечно, скажете красота и стиль, но я осмелюсь с вами поспорить. Число Пи! Это число, объединяющее все окружности, круги и округлости, к коим в частности можно отнести и мамино кольцо, и колесо от любимой папиной машины и даже блюдце любимого кота Мурзика. Готов поспорить, что в рейтинге самых популярных физических и математических констант число Пи несомненно займет первую строчку. Но что скрывается за ним? Может какие-то страшные ругательства математиков? Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.

Что же такое число «Пи» и откуда оно взялось?

Современное обозначение числа π (Пи) появилось благодаря английскому математику Джонсону в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια (периферия, или окружность) . Для тех, кто проходил математику давно, да и к тому же мимо, напомним, что число Пи — это отношение длины окружности к её диаметру. Величина является константой, то есть постоянна для любой окружности, независимо от её радиуса. Люди знали об этом еще в древности. Так в древнем Египте число Пи принимали равным отношению 256 / 81 , а в ведических текстах приводится значение 339 / 108 , Архимед же предлагал соотношение 22 / 7 . Но ни эти, ни многие другие способы выражения числа Пи не давали точный результат.

Оказалось, что число Пи трансцендентное, соответственно, и иррациональное. А это значит, его нельзя представить в виде простой дроби. Если же его выразить через десятичную, то последовательность цифр после запятой устремятся в бесконечность, к тому же периодически не повторяясь. Что все это значит? Очень просто. Хотите узнать номер телефона понравившейся девушки? Его наверняка можно найти в последовательности цифр после запятой числа Пи.

Телефон можно посмотреть здесь ↓

Число Пи с точностью до 10000 знаков.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Не нашли? Тогда посмотрите .

Вообще это может быть не только номер телефона, а любая информация, закодированная с помощью цифр. К примеру, если представить все произведения Александра Сергеевича Пушкина в цифровом виде, то они хранились в числе Пи еще до того, как он их написал, даже до того, как он родился. В принципе, они хранятся там до сих пор. Кстати, ругательства математиков в π тоже присутствуют, да и не только математиков. Словом, в числе Пи есть всё, даже мысли, которые посетят вашу светлую голову завтра, послезавтра, через год, а может, через два. В это очень трудно поверить, но даже если мы представим, что поверили, еще труднее будет получить оттуда информацию и расшифровать её. Так что вместо того, чтобы копаться в этих цифрах, может проще подойти к понравившейся девушке и спросить у неё номер?.. Но для тех, кто не ищет легких путей, ну или просто интересующихся, чему же равно число Пи, предлагаю несколько способов его вычисления. Считайте на здоровье.

Чему равно число Пи? Методы его вычисления:

1. Экспериментальный метод. Если число Пи это отношение длины окружности к её диаметру, то первый, пожалуй, самый очевидный способ нахождения нашей загадочной константы будет вручную произвести все измерения и вычислить число Пи по формуле π=l/d. Где l - длина окружности, а d — её диаметр. Все очень просто, необходимо лишь вооружится ниткой для определения длины окружности, линейкой для нахождения диаметра, и, собственно, длины самой нитки, ну и калькулятором, если у вас проблемы с делением в столбик. В роли измеряемого образца может выступить кастрюля или банка из под огурцов, неважно, главное? чтоб в основании была окружность.

Рассмотренный способ вычисления самый простой, но, к сожалению, имеет два существенных недостатка, отражающихся на точности полученного числа Пи. Во-первых, погрешность измерительных приборов (в нашем случае это линейка с ниткой), а во-вторых, нет никакой гарантии, что измеряемая нами окружность будет иметь правильную форму. Поэтому не удивительно, что математика подарила нам множество других методов вычисления π, где нет нужды производить точные измерения.

2. Ряд Лейбница. Существует несколько бесконечных рядов, позволяющих точно вычислять число Пи до большого количества знаков после запятой. Одним из самых простых рядов является ряд Лейбница. π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …
Все просто: берем дроби с 4 в числителе (это то что сверху) и одним числом из последовательности нечетных чисел в знаменателе (это то что снизу), последовательно складываем и вычитаем их друг с другом и получаем число Пи. Чем больше итераций или повторений наших нехитрых действий, тем точнее результат. Просто, но не эффективно, к слову, необходимо 500000 итераций чтоб получить точное значение числа Пи с десятью знаками после запятой. То есть, нам придется несчастную четверку разделить аж 500000 раз, а помимо этого полученные результаты мы должны будем 500000 раз вычитать и складывать. Хотите попробовать?

3. Ряд Нилаканта. Нет времени возится с рядом Лейбница? Есть альтернатива. Ряд Нилаканта, хотя он немного сложнее, но позволяет быстрее получить нам искомый результат. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) … Думаю, если внимательно посмотреть на приведенный начальный фрагмент ряда, все становится ясным, и комментарии излишни. По этому идем дальше.

4. Метод «Монте-Карло» Довольно интересным методом вычисления числа Пи является метод Монте Карло. Столь экстравагантное название ему досталось в честь одноименного города в королевстве Монако. И причина тому случайность. Нет, его не назвали случайно, просто в основе метода лежат случайные числа, а что может быть случайней чисел, выпадающих на рулетках казино Монте Карло? Вычисление числа Пи не единственное применение этого метода, так в пятидесятых годах его использовали при расчетах водородной бомбы. Но не будем отвлекаться.

Возьмем квадрат со стороной, равной 2r , и впишем в него круг радиусом r . Теперь если наугад ставить точки в квадрате, То вероятность P того, что точка угодит в круг, есть отношение площадей круга и квадрата. P=S кр /S кв =2πr 2 /(2r) 2 =π/4 .

Теперь отсюда выразим число Пи π=4P . Остается только получить экспериментальные данные и найти вероятность Р как отношение попаданий в круг N кр к попаданиям в квадрат N кв . В общем виде расчетная формула будет выглядеть следующим образом: π=4N кр / N кв.

Хочется отметить, что для того, чтобы реализовать этот метод, в казино идти необязательно, достаточно воспользоваться любым более или менее приличным языком программирования. Ну а точность полученных результатов будет зависеть от количества поставленных точек, соответственно, чем больше, тем точнее. Желаю удачи 😉

Число Тау ( Вместо заключения).

Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. Но пока это только предложения, и как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».

Значение числа "Пи", как и его символика известна во всём мире. Этот термин обозначает иррациональные числа (то есть их значение не может быть точно выражено в виде дроби y/x, где y и x - целые числа) и заимствован и древнегреческого фразеологизма "перефериа", что можно перевести на русский, как "окружность".
Число "Пи" в математике обозначает отношение длины окружности к длине её диаметра. История происхождения числа "Пи" уходит в далёкое прошлое. Множество историков пытались установить, когда и кем был придуман этот символ, но выяснить так и не удалось.

Число "Пи" является трансцендентным числом, или говоря простыми словами оно не может быть корнем некоего многочлена с целыми коэффициентами. Оно может обозначаться, как вещественное либо, как косвенное число, которое не является алгебраическим.

Число "Пи" равняется 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Число "Пи" может быть не только иррациональным числом, которое нельзя выразить с помощью нескольких различных чисел. Число "Пи" можно представить некоей десятичной дроби, которое располагает бесконечным множеством цифр после запятой. Ещё интересный момент - все эти числа не способны повторяться.

Число "Пи" можно соотнести с дробным числом 22/7, так называемым символом "тройной октавы ". Это число знали ещё древнегреческие жрецы. Кроме того, даже простые жители могли применять его для решения, каких-либо бытовых проблем, а также использовать для проектирования, таких сложнейших строений, как усыпальницы.
Как заявляет учёный и исследователь Хэйенс, подобное число можно проследить среди развалин Стоунхенджа, а также обнаружить в мексиканских пирамидах.

Число "Пи" упоминал в своих трудах Ахмес, известный в то время инженер. Он пытался наиболее точно рассчитать его используя для этого измерение диаметра круга по нарисованным внутри него квадратам. Вероятно в некотором смысле это число имеет некий мистический, сакральный для древних смысл.

Число "Пи" по сути является самым загадочным математическим символом. Его можно причислить к дельте, омеге и др. Оно представляет из себя такое отношение, которое окажется точно таким, независимо в кокой точке мироздания будет находиться наблюдатель. Кроме того, оно будет неизменным от объекта измерения.

Вероятнее всего, первым человеком, который решил вычислить число "Пи" с помощью математического метода является Архимед. Он решил он рисовал в окружности правильные многоугольники. Считая диаметр окружности единицей, учёный обозначал периметр нарисованного в круге многоугольника, рассматривая периметр вписанного многоугольника, как верхнюю оценку, а как нижнюю оценку длины окружности

Что такое число "Пи"

Одним из самых загадочных чисел, известных человечеству, безусловно, является число Π (читается - пи). В алгебре это число отражает величину соотношения длины окружности и ее диаметра. Ранее эту величину называли лудольфовым числом. Как и откуда взялось число Пи доподлинно не известно, но математики делят на 3 этапа всю историю числа Π, на древний, классический и эру цифровых компьютеров.

Число П - иррационально, то есть его нельзя представить в виде простой дроби, где числитель и знаменатель целые числа. Поэтому, такое число не имеет окончания и является периодическим. Впервые иррациональность П доказал И. Ламберт в 1761 году.

Кроме этого свойства, число П не может являться еще и корнем какого-нибудь многочлена, а потому является числом свойство, когда было доказано в 1882 году, положило конец почти сакральному спору математиков «о квадратуре круга», который продолжался на протяжении 2 500 лет.

Известно, что первым ввел обозначение этого числа британец Джонс в 1706 году. После того как появились труды Эйлера, использование такого обозначения стало общепринятым.

Чтобы детально разобраться, что такое число Пи, следует сказать, что его использование настолько широко, что трудно даже назвать область науки, в которой бы без него обходятся. Одно из самых простых и знакомых еще из школьной программы значений - это обозначение геометрического периода. Отношение длины круга к длине его диаметра является постоянной и равно 3, 14. Это значение было известно еще древнейшим математикам в Индии, Греции, Вавилоне, Египте. Наиболее ранний вариант вычисления соотношения относится к 1900 году до н. э. Более приближенное к современному значение П вычислил китайский ученый Лю Хуэй, кроме того, он изобрел и быстрый способ такого вычисления. Его величина оставалась общепринятой на протяжении почти 900 лет.

Классический период развития математики ознаменовался тем, что чтобы установить точно, что такое число Пи, ученые стали использовать методы математического анализа. В 1400-х годах индийский математик Мадхава использовал для вычисления теорию рядов и определил период числа П с точностью до 11 цифр после запятой. Первым европейцем, после Архимеда, который исследовал число П и внес значительный вклад в его обоснование, стал голландец Людольф ван Цейлен, который определил уже 15 цифр после запятой, а в завещании написал весьма занимательные слова: «…кому интересно - пусть идет дальше». Именно в честь этого ученого, число П и получило свое первое и единственное за всю историю именное название.

Эпоха компьютерных вычислений привнесла новые детали в понимание сущности числа П. Так, чтобы выяснить, что такое число Пи, в 1949 году впервые была использована вычислительная машина ЭНИАК, одним из разработчиков которой был будущий «отец» теории современных компьютеров Дж. Первое измерение велось на протяжении 70 часов и дало 2037 цифр после запятой в периоде числа П. Отметка в миллион знаков была достигнута в 1973 году. Кроме того, в этот период были установлены и другие формулы, отражающие число П. Так, братья Чудновские смогли найти такую, которая позволила вычислить 1 011 196 691 цифр периода.

Вообще следует отметить, что чтобы ответить на вопрос: "Что такое число Пи?", многие исследования стали напоминать соревнования. Сегодня уже суперкомпьютеры занимаются вопросом, какое же оно на самом деле, число Пи. интересные факты, связанные с этими исследованиями, пронизывают практически всю историю математики.

Сегодня, например, проводятся мировые чемпионаты по запоминанию числа П и фиксируются мировые рекорды, последний принадлежит китайцу Лю Чао, за сутки с небольшим, назвал 67 890 знаков. В мире есть даже праздник числа П, который отмечается как «День числа Пи».

По данным на 2011 год уже установлено 10 триллионов цифр периода числа.

Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ.

Графики функций у = arcsin x, обратной функции у = sin х

График функции у = arctg x, обратной функции у = tg х.

Функция нормального распределения (распределение Гаусса). Максимум ее графика отвечает наиболее вероятному значению случайной величины (например, длины предмета, измеренной линейкой), а степень «расплывания» кривой зависит от параметров а и "сигма".

Жрецы Древнего Вавилона посчитали, что солнечный диск укладывается на небосводе от рассвета до заката 180 раз и ввели новую единицу измерения - градус, равный его угловому размеру.

Размеры природных образований - песчаных дюн, холмов и гор - увеличиваются с каждым шагом в среднем в 3,14 раза.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Маятник, качаясь без трения и сопротивления, сохраняет постоянную амплитуду колебаний. Появление сопротивления приводит к экспоненциальному затуханию колебаний.

В очень вязкой среде отклоненный маятник движется к положению равновесия по экспоненте.

Чешуйки сосновых шишек и завитки раковин многих моллюсков располагаются по логарифмическим спиралям.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Логарифмическая спираль пересекает все лучи, выходящие из точки О, под одинаковыми углами.

Наверно, любой абитуриент или студент на вопрос, что такое числа и е, ответит: - это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, а е - основание натуральных логарифмов. Если попросить определить эти числа более строго и вычислить их, студенты приведут формулы:

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…

(напоминаем, что факториал n! =1x 2x 3x … x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(последним дан ряд Ньютона, есть и другие ряды).

Все это так, но, как известно, числа и е входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Значит, они отражают какие-то общие законы природы. Какие именно? Определения этих чисел через ряды, несмотря на их правильность и строгость, все же оставляют чувство неудовлетворенности. Они абстрактны и не передают связи рассматриваемых чисел с окружающим миром посредством повседневного опыта. Не удается найти ответы на поставленный вопрос и в учебной литературе.

Между тем можно утверждать, что константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а - с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: число е - энергии и импульса (количества движения), а число - вращательного момента (момента импульса). Обычно столь неожиданные утверждения вызывают удивление, хотя по существу, с точки зрения теоретической физики, в них нет ничего нового. Глубинный смысл этих мировых констант остается terra incognita для школьников, студентов и, по-видимому, даже для большинства преподавателей математики и общей физики, не говоря уже о других областях естествознания и экономики.

На первом курсе вуза можно поставить в тупик студентов таким, например, вопросом: почему при интегрировании функций типа 1/(х 2 +1) появляется арктангенс, а типа арксинус - круговые тригонометрические функции, выражающие величину дуги окружности? Иначе говоря, откуда при интегрировании "берутся круги" и куда они исчезают затем при обратном действии - дифференцировании арктангенса и арксинуса? Вряд ли на поставленный вопрос ответит сам по себе вывод соответствующих формул дифференцирования и интегрирования.

Далее, на втором курсе вуза при изучении теории вероятностей число появляется в формуле для закона нормального распределения случайных величин (см. "Наука и жизнь" № 2, 1995 г.); по ней можно, например, вычислить, с какой вероятностью монета упадет на герб любое число раз при, скажем, 100 подбрасываниях. А здесь где круги? Неужели сказывается форма монеты? Нет, формула для вероятности такая же и для монеты квадратной формы. И в самом деле - вопросы непростые.

А вот природу числа е полезно знать поглубже студентам-химикам и материаловедам, биологам и экономистам. Это поможет им понять кинетику распада радиоактивных элементов, насыщения растворов, износа и разрушения материалов, размножения микробов, воздействия сигналов на органы чувств, процессов накопления капиталов и т. д. - бесконечного множества явлений в живой и неживой природе и деятельности человека.

Число и сферическая симметрия пространства

Сначала сформулируем первый основной тезис, а затем поясним его смысл и следствия.

1. Число отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению. С изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента.

Отсюда вытекают общеизвестные следствия, которые изучают в средней школе.

Следствие 1 . Длина дуги окружности, вдоль которой умещается ее радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу радиан .

Эта единица безразмерная. Чтобы найти число радианов в дуге окружности, надо измерить ее длину и разделить на длину радиуса этой окружности. Как мы знаем, вдоль любой полной окружности ее радиус укладывается приблизительно 6,28 раза. Точнее, длина полной дуги окружности составляет 2 радиан, причем в любых системах счисления и единицах длины. Когда изобретали колесо, оно получалось одинаковым и у индейцев Америки, и у кочевников Азии, и у негров Африки. Только единицы измерения дуги были разными, условными. Так, наш угловой и дуговой градус был введен вавилонскими жрецами, посчитавшими, что диск Солнца, находящегося почти в зените, укладывается 180 раз на небосводе от рассвета до заката. 1 градус 0, 0175 рад или 1 рад 57,3 ° . Можно утверждать, что и гипотетические инопланетные цивилизации без труда поняли бы одна другую, обменявшись посланием, в котором окружность разделена на шесть частей "с хвостиком"; это означало бы, что "партнер по переговорам" уже как минимум прошел стадию изобретения колеса и знает, что такое число .

Следствие 2. Предназначение тригонометрических функций - выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве.

Из сказанного ясно, что аргументы тригонометрических функций в принципе безразмерны, как и у других типов функций, т.е. это действительные числа - точки числовой оси, которые не нуждаются в градусном обозначении.

Опыт показывает, что школьники, студенты колледжей и вузов не без труда привыкают к безразмерным аргументам у синуса, тангенса и т. д. Далеко не каждый абитуриент сможет без калькулятора ответить на вопрос, чему приблизительно равен cos1 (примерно 0,5) или arctg /3. Последний пример особенно сбивает с толку. Часто говорят, что это бессмыслица: "дуга, арктангенс которой равен 60 о ". Если сказать именно так, то ошибка будет в неправомочном применении градусной меры к аргументу функции. А правильный ответ: arctg(3,14/3) arctg1 /4 3/4. К сожалению, сплошь и рядом абитуриенты и студенты говорят, что = 180 0 , после чего приходится их поправлять: в десятичной системе счисления = 3,14… . Но, конечно, можно сказать что радиан равно 180 0 .

Разберем еще одну нетривиальную ситуацию, встречающуюся в теории вероятностей. Она касается важной формулы вероятности появления случайной ошибки (или нормального закона распределения вероятностей), в которую входит число . По этой формуле можно, например, вычислить вероятность падения монеты на герб 50 раз при 100 подбрасываниях. Итак, откуда взялось в ней число ? Ведь никакие круги или окружности там вроде бы не просматриваются. А суть в том, что монета падает случайным образом в сферически симметричном пространстве, по всем направлениям которого и должны равноправно учитываться случайные колебания. Математики так и делают, интегрируя по кругу и вычисляя так называемый интеграл Пуассона, который равен и входит в указанную формулу вероятности. Наглядной иллюстрацией таких колебаний служит пример со стрельбой по мишени в неизменных условиях. Дырочки на мишени рассеяны по кругу (!) с наибольшей плотностью около центра мишени, а вероятность попадания можно вычислить по той же формуле, содержащей число .

"Замешано" ли число в природных структурах?

Попробуем разобраться в явлениях, причины которых далеко не ясны, но которые тоже, возможно, не обошлись без числа .

Отечественный географ В. В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов в следующем ряду: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы Кавказа, Гималаев и др. Оказалось, что в среднем увеличение размера составляет 3,14. Аналогичная закономерность, похоже, обнаружена недавно в рельефе Луны и Марса. Пиотровский пишет: "Тектонические структурные формы, образующиеся в земной коре и выраженные на ее поверхности в виде форм рельефа, развиваются в результате каких-то общих процессов, происходящих в теле Земли, они пропорциональны размерам Земли". Уточним - пропорциональны соотношению линейных и дуговых ее размеров.

В основе указанных явлений, возможно, лежит так называемый закон распределения максимумов случайных рядов, или "закон троек", сформулированный еще в 1927 году Е. Е. Слуцким.

Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн, что знали еще древние греки. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей. Так образуется знаменитый девятый вал. Он - пик "периода второго ранга". Некоторые ученые предполагают, что по закону троек происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей. Интервалы между их максимумами составляют девять-двенадцать лет или приблизительно 3 2 . Как считает доктор биологических наук Г. Розенберг, можно продолжить построение временных последовательностей следующим образом. Период третьего ранга 3 3 соответствует интервалу между сильными засухами, составляющему в среднем 27-36 лет; период 3 4 - циклу вековой солнечной активности (81-108 лет); период 3 5 - циклам оледенений (243-324 года). Совпадения станут еще лучше, если мы отступим от закона "чистых" троек и перейдем к степеням числа . Кстати, их очень легко вычислять, так как 2 почти равно 10 (когда-то в Индии число даже определялось как корень из 10). Можно и дальше продолжать подгонку циклов геологических эпох, периодов и эр под целые степени тройки (что и делает, в частности, Г. Розенберг в сборнике "Эврика-88", 1988 г.) или же числа 3,14. И всегда можно принять желаемое за действительное с той или иной точностью. (В связи с подгонками вспоминается математический анекдот. Докажем, что нечетные числа суть числа простые. Берем: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д., а 9 здесь - ошибка опыта.) И все же идея о неочевидной роли числа p во многих геологических и биологических явлениях, похоже, не совсем пустая, и, возможно, в будущем она еще себя проявит.

Число е и однородность времени и пространства

Теперь перейдем ко второй великой мировой константе - числу е. Математически безупречное определение числа е с помощью ряда, приведенного выше, по существу, никак не проясняет его связи с физическими или иными природными явлениями. Как же подойти к этой проблеме? Вопрос непростой. Начнем, пожалуй, со стандартного явления распространения электромагнитных волн в вакууме. (Причем вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума.)

Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция e iβt =cos βt + isin βt , где β - частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул - формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (1707-1783) по первой букве его фамилии и названо число е.

Указанная формула хорошо известна студентам, но ее необходимо пояснить учащимся нематематических школ, ибо в наше время из обычных школьных программ исключены комплексные числа. Комплексное число z = x+iy состоит из двух слагаемых - чисел действительного (x) и мнимого, которое представляет собой действительное число у, умноженное на мнимую единицу . Действительные числа отсчитывают вдоль действительной оси О х, а мнимые - в том же масштабе вдоль мнимой оси О у, единицей которой служит i, причем длина этого единичного отрезка есть модуль | i | =1. Поэтому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами (х, у). Итак, необычный вид числа е с показателем, содержащим только мнимые единицы i, означает наличие лишь незатухающих колебаний, описываемых косинусоидой и синусоидой.

Ясно, что незатухающая волна демонстрирует соблюдение закона сохранения энергии для электромагнитной волны в вакууме. Такая ситуация имеет место при "упругом" взаимодействии волны со средой без потерь ее энергии. Формально это можно выразить так: если перенести начало отсчета по оси времени, энергия волны сохранится, так как у гармонической волны останутся те же амплитуда и частота, то есть энергетические единицы, а изменится лишь ее фаза, часть периода, отстоящая от нового начала отсчета. Но фаза на энергию не влияет именно по причине однородности времени при смещении начала отсчета. Итак, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) законен в силу однородности времени t. Теперь, наверно, в принципе понятно, почему однородность по времени приводит к закону сохранения энергии.

Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером ее может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси О х запишется как e iх =cos х + isin х. Ясно, что и в этом случае трансляция вдоль х не изменит ни косинусоиды, ни синусоиды, если пространство однородно вдоль этой оси. Опять-таки изменится лишь их фаза. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения количества движения (импульса), то есть массы, умноженной на скорость. Пусть теперь пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неодинаковой и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой (или волной с данным импульсом).

Итак, можно сформулировать второй основной тезис:

2. Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии - через однородность времени, импульса - через однородность пространства.

И все-таки, почему именно число е, а не какое-то другое вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Эту проблему автор обсуждал с теоретиком, доктором физико-математических наук В. Д. Эфросом, и мы попытались пояснить ситуацию следующим образом.

Важнейший класс процессов - линейные и линеаризованные процессы - сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (этот тип уравнений изучается на первом-втором курсах вузов и колледжей). А ее ядром служит приведенная выше формула Эйлера. Так что решение содержит комплексную функцию с основанием е, такую же, как уравнение волны. Причем именно е, а не другое число в основании степени! Потому что только функция е х не изменяется при любом числе дифференциро ваний и интегрирований. И следовательно, после подстановки в исходное уравнение только решение с основанием е даст тождество, как и надлежит правильному решению.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Мы видим, что формула Эйлера умножается на действительную переменную величину e αt , которая есть амплитуда волны, изменяющаяся во времени. Выше мы полагали ее для простоты постоянной и равной 1. Так можно делать в случае незатухающих гармонических колебаний, при α = 0. В общем же случае любой волны поведение амплитуды зависит от знака коэффициента a при переменной t (времени): если α > 0, амплитуда колебаний возрастает, если α < 0, затухает по экспоненте.

Возможно, последний абзац труден для выпускников многих обычных школ. Он, однако, должен быть понятен студентам вузов и колледжей, которые основательно штудируют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте "амплитуда".

Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если же отклонить не слишком массивный маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно двигаться к положению равновесия, все более замедляясь.

Итак, из тезиса 2 можно вывести такое следствие:

Следствие 1. При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине .

Сформулированный принцип математически выглядит так: ∆I ~ I∆t, где, допустим, I - сигнал, а ∆t - малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ∆I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим lnI ~ kt. Или: I ~ e kt - закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k). Таким образом, закон пропорцио нальности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е. (Причем здесь это показано в виде, доступном для школьников выпускного класса, знающих элементы интегрирования.)

По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д. Особо отметим универсальный психофизический закон Вебера - Фехнера (почему-то игнорируемый в образовательных программах школ и вузов). Он гласит: "Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения".

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естествен но, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению). Согласно закону: 1) малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения; 2) в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов. Возьмем для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться по силе в ~ 10 10 , а ухом - в ~ 10 12 раз. Живая природа приспособилась к таким диапазонам. Она защищается, логарифмируя (путем биологического ограничения) поступающие раздражите ли, иначе рецепторы погибли бы. На законе Вебера - Фехнера основана широко применяемая логарифмическая (децибельная) шкала силы звука, в согласии с которой работают регуляторы громкости аудиоаппаратуры: их смещение пропорционально воспринимаемой громкости, но не силе звука! (Ощущение пропорционально lg/ 0 . За порог слышимости принято р 0 = 10 -12 Дж/м 2 с. На пороге имеем lg1 = 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шепота, которое выше порога на 1 бел по шкале логарифмов. Усиление звука в миллион раз от шепота до крика (до 10 -5 Дж/м 2 с) по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков или на 6 Бел.)

Наверное, подобный принцип оптимально экономичен и при развитии многих организмов. Это можно наглядно наблюдать по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Расстояние от центра прирастает по закону r = ae kj . В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию (что легко видеть, если взять производную от записанной функции). По логарифмической спирали выполняют профили вращающихся ножей и фрез.

Следствие 2. Наличие только мнимой части функции при α = 0, β 0 в решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами описывает множество линейных и линеаризованных процессов, в которых имеют место незатухающие гармонические колебания.

Это следствие возвращает нас к уже рассмотренной выше модели.

Следствие 3. При реализации следствия 2 происходит "смыкание" в единой формуле чисел и е посредством исторической формулы Эйлера в ее первоначальном виде е i = -1.

В таком виде Эйлер впервые опубликовал свою экспоненту с мнимым показателем степени. Нетрудно выразить ее через косинус и синус в левой части. Тогда геометрической моделью этой формулы будет движение по окружности с постоянной по абсолютному значению скоростью, которое есть сумма двух гармонических колебаний. По физической сущности в формуле и ее модели отражаются все три фундаментальных свойства пространства-времени - их однородность и изотропность, а тем самым все три закона сохранения.

Заключение

Положение о связи законов сохранения с однородностью времени и пространства, бесспорно, правильно для евклидова пространства в классической физике и для псевдоевклидова пространства Минковского в Общей теории относительности (ОТО, где четвертой координатой служит время). Но в рамках ОТО возникает естественный вопрос: а как обстоит дело в областях огромных гравитационных полей, вблизи сингулярностей, в частности, у черных дыр? Мнения физиков здесь расходятся: большинство считают, что указанные фундаментальные положения сохраняются и в этих экстремальных условиях. Однако есть и иные точки зрения авторитетных исследователей. И те и другие работают над созданием новой теории квантовой гравитации.

Чтобы в двух словах представить себе, какие здесь возникают проблемы, процитируем слова физика-теоретика академика А. А. Логунова: "Оно (пространство Минковского. - Авт .) отражает свойства, общие для всех форм материи. Это обеспечивает существование единых физических характеристик - энергии, импульса, момента количества движения, законов сохранения энергии, импульса. Но Эйнштейн утверждал, что такое возможно только при одном условии - в случае отсутствия гравитации <...>. Из этого утверждения Эйнштейна следовало, что пространство-время становится не псевдоевклидовым, а гораздо более сложным по своей геометрии - римановым. Последнее уже отнюдь не однородно. Оно меняется от точки к точке. Появляется свойство кривизны пространства. В нем исчезает и точная формулировка законов сохранения, как они были приняты в классической физике. <...> Если говорить строго, то в ОТО в принципе нельзя ввести законы сохранения энергии-импульса, их нельзя сформулировать" (см. "Наука и жизнь" №№ 2, 3, 1987 г.).

Фундаментальные константы нашего мира, о природе которых мы говорили, известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число , равное 3,14159265358979323846.., вдохновило выдающегося польского поэта ХХ века, лауреата Нобелевской премии 1996 года Виславу Шимборскую на создание стихотворения "Число Пи", цитатой из которого мы закончим эти заметки:

Число, достойное восхищения:
Три запятая один четыре один.
Каждая цифра дает ощущение
начала - пять девять два,
ведь до конца не дойти никогда.
Взглядом всех цифр не объять -
шесть пять три пять.
Арифметических действий -
восемь девять -
уже не хватает, и трудно поверить -
семь девять -
что не отделаться - три два три
восемь -
ни уравнением, которого нет,
ни шутливым сравнением -
оных не счесть.
Двинемся дальше: четыре шесть...
(Перевод с польского - Б. Г.)